             
|
För att gå vidare till den allmänna relativitetsteorin så
behövs den matematiska differentialgeometrin, eftersom rummet krökts
vid närvaro av materia och endast lokalt blir euklidiskt. Tensorer,
som är mycket användbara även inom den speciella relativitetsteorin,
är mycket kraftfulla eftersom de bl a bevarar invariansen
vid transformationer. Eftersom vektorer som börjar i en punkt A och
slutar i en annan punkt B endast fungerar i euklidiska rum så måste
vektorer parametriseras och begreppet tangentvektor
införas. Eftersom raka linjer inte längre är parallella i ett icke euklidiskt
rum måste begreppet raka linjer utökas och omdefinieras. Denna ersättare
är den mer allmänna geodeten och för denna gäller att
den s k kovarianta derivatan, som är en generaliserad
derivata som kompenserar för rummets krökning, är noll för en viss koordinat
och hastighet. Den kovarianta derivatan i en punkt m a p en viss riktning
beräknas genom att tensorn flyttas (lokalt) och även beräknas i en infinitesimalt
närliggande punkt som ligger i den önskade riktningen utan att tensorns
komponenter förändras i koordinatsystemet och att tensorn sedan parallellförflyttas
(globalt) tillbaka till punkten där den kovarianta derivatan skall beräknas.
Vid en förflyttning av en tensor som hålls konstant, både i fråga om storlek och
riktning, i den lokala lorentzramen så förändras ändå tensorn globalt sett p g a att
koordinatsystemets basvektorer förändras till följd av rummets krökning. Inuti den
lokala lorentzramen är det "lätt" att beräkna den kovarianta derivatan på
det "klassiska" sättet. För att kunna beräkna den kovarianta derivatan i en
godtycklig global referensram måste förändringen hos basvektorerna kompenseras med en s
k kopplingskoefficient (affinitet) för varje index i
"bastensorn" till följd av krökningen. |
 |
 |
